XTWEST: Module Stata pour tests de cointegration dans des panneaux hétérogènes La commande xtwest implémente les tests de cointegration de quatre panneaux développés par Westerlund (2007). L'idée sous jacente est de tester l'absence de cointegration en déterminant s'il existe une correction d'erreur pour les membres individuels du panel ou pour le panel dans son ensemble. Les tests sont assez généraux pour permettre un grand degré d'hétérogénéité, à la fois dans la relation de coïntégration à long terme et dans la dynamique à court terme, et la dépendance à l'intérieur ainsi que dans les unités transversales. La routine est décrite dans Persyn et Westerlund (2008), Stata Journal 8 (2), 232 241. La routine s'appuie sur N. J. Coxs matvsort routine, qui est inclus dans le paquet. Si vous rencontrez des problèmes lors du téléchargement d'un fichier, vérifiez si vous avez l'application appropriée pour le consulter en premier. En cas de problèmes supplémentaires, lisez la page d'aide IDEAS. Notez que ces fichiers ne sont pas sur le site IDEAS. Soyez patient car les fichiers peuvent être volumineux. Composant logiciel fourni par le Boston College Department of Economics dans sa série Statistical Software Components avec le numéro S456941. Lorsque vous demandez une correction, merci de mentionner ces éléments handle: RePEc: boc: bocode: s456941. Reportez vous aux informations générales sur la façon de corriger les données dans RePEc. Pour des questions techniques concernant cet article, ou pour corriger ses auteurs, titre, résumé, information bibliographique ou de téléchargement, contactez: (Christopher F Baum) Si vous avez écrit cet article et ne sont pas encore enregistrés avec RePEc, nous vous encourageons à le faire ici . Cela permet de lier votre profil à cet élément. Il vous permet également d'accepter les citations potentielles à cet article que nous sommes incertains. Si les références sont totalement absentes, vous pouvez les ajouter à l'aide de ce formulaire. 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Les références dans les publications aux Documents de discussion sur les finances internationales (à l'exception d'une reconnaissance que l'écrivain a eu accès à du matériel inédit) devraient être autorisées avec l'auteur ou les auteurs. Les IFDP récents sont disponibles sur le Web à federalreserve. govpubsifdp. Ce document peut être téléchargé sans frais à partir de la bibliothèque électronique du Réseau de recherche en sciences sociales à l'adresse suivante: ssrn. Vous quittez le site Web des Federal Reserve Boards. Le site Web que vous avez sélectionné est un site externe situé sur un autre serveur. L'Office n'est pas responsable de tout site externe. Il n'appuie ni l'information, ni le contenu, ni la présentation, ni l'exactitude, ni n'offre de garantie, expresse ou implicite, concernant un site externe. Nous étudions les propriétés de Johansens (1988, 1991) et les tests de traces pour la cointegration dans la situation empiriquement pertinente des variables quasi intégrées. En utilisant des techniques de Monte Carlo, nous montrons que dans un système avec des variables quasi intégrées, la probabilité d'arriver à une conclusion erronée concernant le rang de cointegration du système est généralement sensiblement plus élevée que la taille nominale. Le risque de conclure que des séries complètement indépendantes sont co intégrées est donc non négligeable. Le taux de rejet parasite peut être réduit en effectuant des tests supplémentaires de restrictions sur le (s) vecteur (s) de co intégration, bien qu'il soit encore sensiblement plus grand que la taille nominale. Mots clés: Cointégration, racines proches de l'unité, rejet parasite, simulations Monte Carlo Classification JEL: C12, C15, C32 1 Introduction Les méthodes de coïntégration sont des outils très populaires dans le travail économique appliqué depuis leur introduction il y a une vingtaine d'années. Cependant, l'hypothèse stricte des racines unitaires sur laquelle ces méthodes reposent généralement n'est souvent pas facile à justifier sur le plan économique ou théorique. Par exemple, des variables telles que l'inflation, les taux d'intérêt, les taux de change réels et les taux de chômage semblent toutes très persistantes et sont souvent modelées comme des processus racistes unitaires. Mais, il ya peu de raison a priori de croire que ces variables ont une racine unitaire exacte, plutôt qu'une racine proche de l'unité. En fait, ces variables montrent souvent des signes de réversion moyenne dans des échantillons suffisamment longs. Étant donné que les tests de racine unitaire ont un pouvoir très limité pour distinguer entre une racine unitaire et une alternative proche, l'hypothèse purement racine unité repose généralement sur la commodité plutôt que sur de forts faits théoriques ou empiriques. Cela a conduit de nombreux économistes et économistes à penser que les processus quasi intégrés, qui permettent explicitement un petit écart (inconnu) par rapport à l'hypothèse de la racine unitaire pure, sont une façon plus appropriée de décrire de nombreuses séries chronologiques économiques (1991), Cavanagh et al. (1995) et Elliott (1998). 2 Les séries chronologiques quasi intégrées et intégrées ont des implications pour l'estimation et l'inférence qui sont similaires à bien des égards. Par exemple, les régressions parasites constituent un problème lorsque les variables sont presque intégrées et intégrées. Par conséquent, il est également pertinent de discuter de la cointegration des variables quasi intégrées, voir Phillips (1988) pour une discussion analytique sur ces questions. Malheureusement, les procédures inférentielles conçues pour les données générées par les processus à racine unitaire tendent à ne pas être robustes aux écarts par rapport à l'hypothèse de la racine unitaire. Par exemple, Elliott (1998) montre que des distorsions de grande taille peuvent se produire lorsque l'on effectue une inférence sur le vecteur de cointegration dans un système où les variables individuelles suivent des processus proches de la racine unité plutôt que des processus purement racines unitaires. Le but de cet article est d'étudier l'effet des écarts par rapport à l'hypothèse de la racine unitaire sur la détermination du rang de coïntégration du système en utilisant Johansens (1988, 1991) la valeur propre maximale et les tests de traces. Contrairement à l'inférence en ce qui concerne les vecteurs coïntégrants, cette question n'a pas fait l'objet d'études approfondies dans la littérature. La première contribution du présent document est donc de documenter les taux de rejet pour les tests standard de cointegration, en utilisant le cadre de Johansen, dans un système où les variables sont presque intégrées. Par des simulations Monte Carlo complètes, nous montrons que la probabilité d'arriver à une conclusion erronée concernant le rang de cointegration du système est généralement sensiblement plus élevée que la taille nominale. En d'autres termes, la taille nominale du test peut sous estimer largement les risques de trouver une relation parasite entre des variables non apparentées proches de l'intégration. Dans un système bivarié simple, le taux de rejet parasite peut atteindre respectivement 20 et 40 pour cent pour les tests de valeurs propres et de traces maximales, en utilisant une taille nominale de cinq pour cent. Des taux de rejet encore plus élevés se retrouvent dans un système trivarié. La deuxième contribution est de montrer comment une séquence d'essais supplémentaires sur le (s) vecteur (s) co intégrant (s) peut aider à améliorer la performance des tests et à réduire le taux de rejet parasite. Cependant, même après avoir pris ces étapes supplémentaires, le taux de rejet du test est encore considérablement plus grand que la taille nominale. Cela est particulièrement vrai pour le système de trivariats où des taux de rejet parasites entre 15 et 20% sont documentés pour des essais de cinq pour cent. Dans l'ensemble, la performance de l'essai de trace semble pire que celle du test de valeur propre maximale. Cependant, les deux tests présentent des écarts assez importants par rapport à la taille nominale pour que les praticiens soient conscients des problèmes associés aux procédures de Johansens dans ces circonstances. La séquence proposée de tests supplémentaires aide à alléger une partie de la sensibilité des procédures de Johansen à des écarts par rapport à l'hypothèse de racine unité stricte. Cependant, ils n'éliminent pas le problème. Le reste de cet article est organisé comme suit: La section 2 donne une brève introduction à la méthodologie de Johansens et la section 3 présente l'étude de Monte Carlo. Dans la section 4, nous présentons une illustration empirique des problèmes associés aux variables quasi intégrées en utilisant les données américaines sur l'inflation de l'IPC et le taux d'intérêt nominal court. La section 5 conclut. 2 Essai de coïntégration à l'aide de la méthode de Johansens La méthode de Johansens prend son point de départ dans l'autorégression vectorielle (VAR) de l'ordre donné par Voici la taille de l'échantillon et est la: la plus grande corrélation canonique. Le test de traçage teste l'hypothèse nulle de co intégration des vecteurs contre l'hypothèse alternative des vecteurs cointegrants. Le test des valeurs propres maximales, en revanche, teste l'hypothèse nulle de co intégration des vecteurs contre l'hypothèse alternative des vecteurs cointegrants. Aucune de ces statistiques de test ne suit une distribution de chi carré en général. Les valeurs critiques asymptotiques peuvent être trouvées dans Johansen et Juselius (1990) et sont également données par la plupart des progiciels économétriques. Puisque les valeurs critiques utilisées pour les statistiques de valeurs propres maximales et de tests de traces sont basées sur une hypothèse de racine unitaire pure, elles ne seront plus correctes lorsque les variables du système sont des processus quasi racine unité. Ainsi, la vraie question est de savoir comment les procédures de Johansens sensibles sont des déviations par rapport à l'hypothèse de la racine unitaire pure. Bien que la méthode de Johansens soit généralement utilisée dans un contexte où toutes les variables du système sont I (1), avoir des variables stationnaires dans le système n'est théoriquement pas un problème et Johansen (1995) affirme qu'il n'y a guère besoin de pré tester les variables dans Le système pour établir leur ordre d'intégration. Si une seule variable est I (0) au lieu de I (1), elle se révélera par un vecteur cointegrant dont l'espace est occupé par la seule variable stationnaire dans le modèle. Par exemple, si le système de l'équation (2) décrit un modèle dans lequel où est I (1) et est I (0), on devrait s'attendre à trouver qu'il existe un vecteur de co intégration dans le système qui est donné par. Dans le cas où a le rang complet, toutes les variables du système sont stationnaires. Le fait que des variables stationnaires dans un système introduise des vecteurs de cointégration restreints est quelque chose qu'il faut garder à l'esprit dans le travail empirique. Autrement dit, il est de bonne pratique économétrique d'inclure toujours des tests sur les vecteurs de coïntégration pour établir si les restrictions pertinentes sont rejetées ou non. Si ces restrictions ne sont pas testées, un rang de coïntégration non nul pourrait être pris comme élément de preuve en faveur de la cointegration entre les variables. Cela est particulièrement pertinent lorsqu'il existe des avis forts sur les variables qui doivent se trouver dans la relation de coïntégration. Un exemple évident est la littérature sur les taux de change réels d'équilibre. Par exemple, dans les études utilisant l'approche de la BEER qui relie le taux de change réel à ses déterminants fondamentaux les techniques de cointegration sont extrêmement courantes. Après avoir trouvé le support d'un vecteur de coïntégration dans un système, il est presque toujours le cas dans cette littérature que le coefficient sur le taux de change réel est normalisé à un, forçant ainsi à faire partie de la relation de co intégration. Cependant, les tests visant à déterminer si tous les autres coefficients du vecteur de coïntégration sont égaux à zéro sont rarement effectués. Il est encore plus rare de vérifier si le seul vecteur de cointégration est dû à la stationnarité d'une autre variable dans le système, bien que les déterminants proposés des taux de change réels puissent, dans de nombreux cas, être considérés comme stationnaires. L'absence de distinction a priori entre les variables I (1) et I (0) est basée sur l'hypothèse que toute variable qui n'est pas I (1), ou un processus purement racine unitaire, est un I stationnaire (0) processus. Cette souplesse apparente, par conséquent, ne rend pas la méthode robuste aux variables quasi intégrées, puisqu'elles ne tombent dans aucune de ces deux classifications. Cependant, les tests de spécification ci dessus du vecteur de co intégration suggèrent un moyen de rendre l'inférence plus robuste dans la présence potentielle de variables proches de la racine unité. Par exemple, si l'on considère le cas bivarié décrit ci dessus, on vérifiera explicitement s'il contribue à exclure des relations parasites qui ne sont pas rejetées par la valeur propre maximale initiale ou l'épreuve de traçage. Bien que nous souhaitions que ces tests de spécification devraient être effectués dans presque tous les types d'application, ils sont susceptibles d'être plus utiles dans les cas où les variables sont susceptibles d'avoir des racines quasi unitaires et le test initial de cointegration rang est biaisé. 8 3 Étude Monte Carlo Le processus de génération de données (DGP) pour le vecteur x1 est donné par où est le paramètre local à unité qui, pour simplifier, est supposé commun à toutes les variables, est la matrice d'identité x et est Un vecteur x1 de perturbations iid normalement distribuées telles que et. Nous étudions la fréquence de rejet parasite de la valeur propre maximale de Johansen et les tests de trace pour les systèmes de taille et fixons la taille de l 'échantillon à. Qui couvre la plupart des cas empiriquement pertinents. Pour toutes les combinaisons de et, on laisse prendre des valeurs entre 0 et 60. 9 La taille nominale de tous les tests est fixée à cinq pour cent. Nous estimons le VAR dans l'équation (2). Étant donné le DGP dans l'équation (6), la longueur du retard dans le VAR est fixée à la valeur correcte de. En outre, nous utilisons la spécification empiriquement la plus commune, ce qui permet une constante dans la relation de coïntégration, mais pas de tendance déterministe dans les données. Pour des raisons de commodité de notation, le terme constant sera supprimé dans l'analyse suivante. Comme les variables dans le système sont totalement sans rapport, la fréquence avec laquelle la preuve d'une relation de coïntégration est trouvée devrait idéalement être égale à la taille nominale. Cependant, le rejet de l'hypothèse nulle, ne conduit pas automatiquement à la fausse conclusion qu'il ya cointegration entre les variables dans le système. Dans le cas bivarié, le rejet ne conduira pas à un rejet de l'hypothèse nulle de non cointegration si: a) H 0. R 1 est également rejeté. Pour le DGP considéré ci dessus, ceci implique que les deux variables sont stationnaires car la matrice a le rang complet. B) H 0. R 1 ne peut pas être rejetée mais la restriction ou ii) ne peut pas non plus être rejetée. Dans chacun de ces cas, nous conclurons qu'il n'y a pas de cointegration entre et. Si la restriction est jugée valide, la conclusion est que c'est stationnaire et qu'il n'a pas une relation à long terme avec. Si la restriction de ii) est jugée valable, la conclusion tirée serait symétrique. Dans le cas du trivariat, le rejet ne conduira pas à un rejet de l'hypothèse nulle de non cointegration si: c) H 0. R 1 et H 0. R 2 sont également rejetés. Pour le DGP considéré ci dessus, cela implique que les trois variables sont stationnaires car la matrice a le rang complet. D) H 0. R 1 ne peut pas être rejetée mais la restriction iii). Iv) ou ne peut pas non plus être rejetée. Comme dans le cas bivarié, on peut conclure que le seul vecteur de cointégration dans le système est dû à une variable stationnaire plutôt qu'à une cointegration entre les variables. E) H 0. R 1 est rejeté mais H 0. R 2 n'est pas, en même temps que les restrictions vi). Vii) ou viii) ne peuvent être rejetées. Tout comme dans et, nous conclurons qu'il n'y a pas de cointegration entre les variables et que les vecteurs cointegrants sont dus aux variables stationnaires. L'interprétation des restrictions sur le vecteur de coïntégration proposé ci dessus que les variables peuvent être intégrées de différents ordres n'est clairement pas strictement correct puisque nous savons que toutes les variables sont presque intégrées avec le même paramètre local à unité. Cependant, c'est l'interprétation qu'un chercheur appliqué, travaillant dans les hypothèses implicites du cadre de Johansen, attirerait. Enfin, il convient de souligner que le schéma d'essai susmentionné soulève certaines inquiétudes concernant les propriétés des essais sous l'alternative de cointegration. En particulier, lorsque la matrice est considérée comme ayant un rang complet et toutes les variables dans le système sont jugées stationnaires , la capacité de détecter réellement la cointegration entre les variables stationnaires presque intégrées est limitée. Bien qu'ils ne relèvent pas de la portée du présent document, il est clair que ces questions doivent être traitées dans le cadre d'une extension officielle du cadre de Johansen à des variables quasi intégrées. 3.2 Résultats Les figures 1 et 2 montrent les fréquences de rejet parasites pour les systèmes bivarié et trivariable respectivement. Les colonnes de gauche des deux figures montrent les fréquences de rejet parasites lorsque le rang de cointégration du système seul est considéré comme une preuve de cointegration entre les variables. C'est simplement quand nous concluons que dans le cas bivarié et soit dans le cas de trivariats. Rappelons que ou les deux impliquent qu'une conclusion correcte a été tirée puisque les variables dans les systèmes ici sont complètement sans rapport. Dans la colonne de droite, d'autre part, les tests supplémentaires dans, ou sont également menées. Cela signifie que la conclusion correcte de la non cointegration entre les variables peut être tracée aussi dans le cas bivarié et pour ou dans le cas trivariant et pas seulement pour ou. Figure 1. Fréquence de rejet parasite pour le système bivarié. Figure 2. Fréquence de rejet parasite pour le système de trivariats. Si l'on se base exclusivement sur le rang estimé du système d'inférence, on constate clairement, à partir de la colonne de gauche, qu'il existe un grand risque de conclure de manière factice que des variables totalement indépendantes sont co intégrées. Quand est petite en valeur absolue, la fréquence de rejet est proche de la taille nominale. Cependant, il est déjà évident que les tests sont sévèrement plus rejetés en particulier, l'essai de traçage présente des propriétés très faibles avec une fréquence de rejet parasite d'environ 18%. Le problème atteint un pic pour une valeur de, où les tests de valeurs propres maximales et de traces atteignent des fréquences de rejet parasites d'environ 21 et 38% respectivement, quelle que soit la taille de l'échantillon. Comme elle devient encore plus grande en valeur absolue, la fréquence de rejet descend et s'approche de zéro pour. La raison en est que, à la fois la valeur propre maximale et le test de trace, on conclut à juste titre que les deux variables sont stationnaires. La rangée supérieure de la figure A1 de l 'annexe illustre ce phénomène en montrant les résultats pour les tests individuels de rang dans le cas de. En se tournant vers la colonne de droite de la figure 1, on peut voir que si des tests sont effectués et sont effectués, après ne pas le rejeter, la fréquence de rejet parasite diminue de façon spectaculaire pour les deux essais. Cependant, même si le problème est atténué, on constate toujours qu'il existe une relation de coïntégration autour de dix pour cent du temps où il est voisin de 17, quel que soit le test utilisé. Les résultats pour le système de trivariums représentés sur la figure 2 sont qualitativement très similaires à ceux du système bivarié, mais le problème du rejet parasite est pire quantitativement pour le système plus grand. Il existe un grand intervalle de valeurs pour lequel les deux tests de valeur propre et de trace ont des fréquences de rejet parasites très élevées, que l'on regarde uniquement le rang (colonne de gauche) ou que l'on effectue les tests supplémentaires après avoir déterminé le rang (colonne de droite ). Pour une valeur d'environ 18 à 20, la fréquence de rejet est la plus élevée. Même si les tests supplémentaires sur les vecteurs de coïntégration sont effectués, les tests de valeurs propres et de traces maximales ont des taux de rejet inacceptablement élevés: 16 et 21 pour cent, indépendamment de la taille de l'échantillon. Enfin, pour ou plus petit, la fréquence de rejet parasite est pratiquement nulle puisque les deux tests concluent toujours que le rang de est égal à trois. Ceci est à nouveau illustré plus en détail dans la rangée inférieure de la figure A1 de l'annexe. En résumé, ni la valeur propre maximale ni l'épreuve de traçage sont fiables pour évaluer si les variables sont co intégrées lorsque les données n'ont pas de racines unitaires exactes. Pour des valeurs raisonnables de, la fréquence de rejet parasite peut être plusieurs fois supérieure à la taille nominale. 4 Une illustration empirique On passe ensuite à une application empirique où l'on peut avancer que le DGP sous jacent à la série est potentiellement proche de l'intégration. Étant donné la forte persistance des taux d'intérêt nominaux et de l'inflation dans de nombreux pays, une approche populaire pour tester l'hypothèse de Fisher dans les années plus récentes a consisté à utiliser des techniques de cointegration (voir MacDonald et Murphy, Wallace et Warner, 1989) , Crowder et Hoffman (1996) et Junttila (2001). Cela est logique dans une certaine mesure car on a souligné que l'hypothèse de Fisher est mieux interprétée comme une condition d'équilibre à long terme (Summers, 1983). Cependant, de nombreuses recherches ont mis en doute l'hypothèse implicite ou explicite dans ces documents selon laquelle l'inflation et le taux d'intérêt nominal sont (1) voir, par exemple, Wu et Zhang (1996), Culver et Papell (1997), Lee et Wu ), Wu et Chen (2001) et Basher et Westerlund (2006). L'existence de racines unitaires exactes dans l'inflation ou les taux d'intérêt nominaux est donc loin d'être certaine et il est intéressant de revoir la question de la cointegration entre eux à la lumière de l'étude Monte Carlo ci dessus. Nous utilisons des données mensuelles sur le taux d'intérêt nominal à court terme des États Unis, donné par le projet de loi du Trésor à trois mois et noté, et l'inflation par l'IPC, de janvier 1974 à octobre 2006. Les données ont été fournies par le Conseil des gouverneurs du Système fédéral de réserve À la figure 3. Le tableau 1 montre les résultats du test de racine unitaire augmenté Dickey Fuller (Said et Dickey, 1984), où la longueur du retard a été établie en utilisant le critère d'information d'Akaike (1974). Comme on peut le voir, l'hypothèse nulle d'une racine unitaire ne peut être rejetée pour aucune variable. De plus, le tableau 1 montre les 95 intervalles de confiance pour le paramètre local à unité et la racine autorégressive correspondante 1, pour chacune des variables. Ceux ci sont obtenus en inversant la statistique de test ADF comme décrit dans Stock (1991). L'éventail des valeurs possibles couvre clairement les valeurs pour lesquelles les taux de rejet spontané les plus élevés ont été enregistrés dans l'étude de Monte Carlo. Tableau 1. Résultats du test Dickey Fuller augmenté. Note: p value entre parenthèses (). 5 Conclusion Cet article a étudié les propriétés de la valeur propre maximale de Johansens et les tests de traçage pour cointegration dans la situation empiriquement pertinente des variables quasi intégrées. Dans l'ensemble, les résultats montrent qu'il existe une probabilité substantielle, beaucoup plus grande que la taille nominale de l'essai, de conclure faussement que des séries totalement indépendantes sont co intégrées. Nous constatons qu'une vérification systématique des tests supplémentaires sur le (s) vecteur (s) cointegrant (s) basé sur Johansens affirment qu'il ya peu besoin de pré tester des variables pour des racines unitaires aide à réduire la fréquence de rejet parasite. Cependant, la fréquence de rejet parasite reste importante et semble augmenter avec le nombre de variables dans le système, même après l'application de tels tests de spécification. Les résultats sont obtenus dans une simulation Monte Carlo dans des circonstances parfaites. C'est à dire que les données sont normalement distribuées et que la longueur de retard dans le VAR en niveaux est connue et égale à un. Dans la pratique, nous n'avons pas l'avantage d'avoir le bon modèle ni en termes de variables dans le système ni de la longueur du retard et les problèmes présentés dans ce document sont susceptibles d'être exacerbés. Les résultats de cet article illustrent davantage la sensibilité des méthodes de cointegration aux écarts par rapport à l'hypothèse de la racine unitaire pure, comme l'indiquait initialement Elliott (1998) en ce qui concerne l'inférence sur les vecteurs cointegrants. Étant donné que les tests de racine unitaire ne permettent pas de distinguer facilement une racine unitaire d'une alternative proche, cela soulève une précaution à l'interprétation des résultats des études de cointegration. En particulier, elle soulève des questions concernant les conclusions tirées dans des études antérieures qui se sont appuyées sur des méthodes de coïntégration malgré avoir trouvé des preuves de stationnarité des variables incluses voir, par exemple, Crowder et Hoffman (1996) et Granville et Mallick (2004). Une façon de rendre la procédure de Johansen plus robuste aux racines proches de l'unité peut être à travers une procédure de limites de type Bonferroni telle que proposée par Cavanagh et al. (1995) pour l'inférence sur le vecteur de cointégration et par Hjalmarsson et Oumlsterholm (2007) pour les tests de cointegration basés sur des résidus. Références Akaike, H. (1974), quotA Nouveau regard sur l'identification du modèle statistique, IEEE Transactions on Automatic Control 19, 716 723. Bagchi, D. Chortareas, G. E. et Miller, S. M. 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Return to text clubs Division of International Finance, Federal Reserve Board, Mail Stop 20, Washington, DC 20551, USA, email: erik. hjalmarssonfrb. gov Phone: 1 202 452 2426. Return to text Department of Economics, Uppsala University, Box 513, 751 20 Uppsala, Sweden, e mail: par. osterholmnek. uu. se Phone: 1 202 378 4135. Return to text 1. For studies relying on cointegration methods, see, for instance, Wallace and Warner (1993), Malley and Moutos (1996), Cardoso (1998), Bremnes et al . (2001), Jonsson (2001), Khamis and Leone (2001) and Bagchi et al . (2004). Studies arguing the stationarity of these variables include Song and Wu (1997, 1998), Taylor and Sarno (1998), Wu and Chen (2001) and Basher and Westerlund (2006). Return to text 2. Phillips (1988) considers both processes that have roots smaller than unity (quot strongly autoregressive quot) and larger than unity (quot mildly explosiv equot) in his analysis of near integrated processes. In this paper, however, we only consider the empirically most relevant case of processes with roots less than unity. Return to text 3. For a detailed description of the procedure, see, for example, Johansen (1995). Return to text 4. Based on previous studies see, for example, Elliott, 1998 it is no far stretch to conjecture that the Brownian motions in the limiting distribution given in, for instance, Johansen (1988) equation (18) would simply be replaced by the corresponding Ornstein Uhlenbeck process to which near unit root variables converge. As always with near unit root variables, the problem is that the local to unity parameter is unknown and thus also the percentiles of the limiting distribution. Return to text 5. This means that the Johansen test can be used as a panel unit root test as suggested by Taylor and Sarno (1998) and Oumlsterholm (2004). Return to text 6. See, for example, Clark and MacDonald (1999) for a discussion of estimation of equilibrium real exchange rates. Return to text 7. One way of viewing tests of such restictions is as unit root tests within the VAR. Thus, if the first stage rank test is a form of overall panel test of the unit root assumption in the data, the tests on the cointegrating vector act as supplementary unit root tests in the cases where either a full set of unit roots is not found (that is, or where stationarity of the entire system (that is, is not found. Return to text 8. It should be stressed that specification tests on the cointegrating vector are also biased when the variables have near unit roots see Elliott (1998). This may potentially reduce the usefulness of these additional specification tests but does not invalidate them as robustness checks. Return to text 9. This range for covers most of the plausible values documented in the literature see, for example, Stock (1991) and Campbell and Yogo (2006). Return to text 10. An alternative viewpoint is that the problem arising from near integrated variables is one of power rather than size, and that whenever the correct conclusion is . However, in empirical applications, cointegration tests are typically used to evaluate whether there is a relation between the variables in the system not to test whether all variables in the system are stationary and we accordingly believe that it is most relevant to view the issue as a matter of size. In our subsequent analysis, we will also test for the outcome in order to improve the overall size properties of the test, as discussed in detail in the main text. Return to text 11. Stationary inflation but integrated nominal interest rate is consistent with a unit root in the real interest rate. Support for a unit root in the real interest rate can be found in, for example, Rose (1988). Return to text This version is optimized for use by screen readers. Descriptions for all mathematical expressions are provided in LaTex format. A printable pdf version is available. Return to text
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